घनों का औसत कैसे निकालें? घनों के औसत का सूत्र क्या है?

Posted on 7 December 2023 by बीना सिंह

घनों के औसत का सूत्र क्या है?

औसत गणित का एक ऐसा टॉपिक है जिससे लगभग हर प्रतियोगी परीक्षाओं में प्रश्न पूछें जाते हैं |औसत निकालने के लिए दी गई सभी संख्याओं को जोड़कर, फिर दी गई संख्याओं के संख्या से भाग दें। औसत को प्राप्त करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:

औसत = (सभी संख्याओं का योग) / (दी गई संख्याओं की संख्या)

इस पोस्ट में हम दी गई संख्याओं के घनों का औसत (Average of the cubes in Hindi) निकालने का सूत्र देखेंगे|

घनों का औसत कैसे निकालें ?

जैसा कि हम जानते हैं, कि प्रथम n प्राकृत संख्याओं के घनों का योग, 1 से n तक की संख्याओ के योग का वर्ग है। होता है अर्थात

$1^{3}+2^{3}+3^{3} +...........+n^{3}= \{\frac{n(n+1)}{2}\}^{2}$ = $\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$

इसलिए, पहले n पूर्ण घनों का औसत = $\frac{\frac{n^2(n+1)^2}{4}}{n} = \frac{n(n+1)^2}{4}$

n पूर्ण घनों का औसत $घनों का औसत$

n पूर्ण घनों का औसत $घनों का औसत$

घनों के औसत पर आधारित प्रश्न | Average of the cubes in Hindi Examples

Example 1: पहली 13 प्राकृत संख्याओं के घनों का औसत क्या है?
हल: पहली 13 प्राकृत संख्याओं के घनों का योग

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+....................+13^{3}$ $=(\frac{n(n+1)}{2})^{2} =(\frac{13(13+1)}{2})^{2} =(13 \times 7)^2$

= 8281

इसलिए 13 प्राकृत संख्याओं के घनों का औसत = $\frac{8281}{13}$ = 637

Example 2: लगातार 15 तक की प्राकृत संख्याओं के घनों का औसत क्या होगा?
हल: n पूर्ण घनों का औसत $= \frac{n(n+1)^2}{4}$

n=15 रखने पर

लगातार 15 तक की प्राकृत संख्याओं के घनों का औसत= $\frac{15(15+1)^{2}}{4} =\frac{3840}{4}$

= 960

लगातार 15 तक की प्राकृत संख्याओं के घनों का औसत 960 होगा|

Example 3: प्राकृत संख्याओं के प्रथम 8 घनों का औसत क्या है?
हल: प्रथम 8 प्राकृत संख्याओं के घनों का योग = $1^{3}+2^{3}+3^{3}+....................+8^{3}$ $=(\frac{8(8+1)}{2})^{2} =(\frac{8\times 9}{2})^{2} =( \4 \times 9)^2$ = 1296