√3 परिमेय है या अपरिमेय ?

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एक परिमेय संख्या को  भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है और एक अपरिमेय संख्या को नहीं। एक परिमेय संख्या में कोई भी पूर्ण संख्या, अंश या दशमलव  होता है जो समाप्त होता है या दोहराया जाता है। एक अपरिमेय संख्या वह संख्या है जिसे भिन्न में नहीं बदला जा सकता है और न तो वो समाप्त होती है और न ही दोहरायी जा सकती है |   जैसे   3, 2.17 , 3/2 आदि परिमेय संख्याएँ हैं|

ज्यामिति के लिए, आपको याद होगा कि  π = 3.14159…। चूँकि  इसका दशमलव मान गैर-दोहराया जाने वाला और अनंत है, इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है | हम गणित के सवालों को हल करने  में  इसका  मान 3.14 का उपयोग करते हैं।

एक परिमेय संख्या को हम  \frac{p}{q} के  रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहाँ  p और q पूर्णांक है ,  q\neq 0  और  p और q सह-अभाज्य  संख्याएँ हैं यानि उनका HCF 1 है |

इस पोस्ट में हम ये देखेंगे कि √3 परिमेय है या अपरिमेय  संख्या है| 

√3 परिमेय है या अपरिमेय ?

हम मन लेते हैं कि √3 एक परिमेय संख्या है | तब हम  √3 को  \frac{p}{q} के  रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहाँ  p और q पूर्णांक है ,  q\neq 0  और  p और q सह-अभाज्य  संख्याएँ हैं यानि उनका HCF 1 है |

अब \sqrt{3}=\frac{p}{q}

\Rightarrow 3= \frac{p^{2}}{q^{2}}

\Rightarrow 3 q^{2}= p^{2}

\Rightarrow 3 , p^{2} को बिभाजित करता है |

\Rightarrow p भी 3 से बिभाजित है |

\Rightarrow p=3r , जहाँ r एक पूर्णांक संख्या है|

\Rightarrow p^{2}=9r^{2}

\Rightarrow3 q^{2}=9r^{2}

\Rightarrow 3 , r^{2} को बिभाजित करता है |

\Rightarrow q  भी 3 से बिभाजित है |

\Rightarrow 3, p और  q का उभयनिष्ठ गुणनखंड है | 

लेकिन, यह इस तथ्य का खंडन करता है कि  p और q सह-अभाज्य  संखाएं हैं। इसका मतलब यह है कि हमारी धारणा सही नहीं है.

अतः √3 एक अपरिमेय संख्या है | 

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