सरलीकरण किसे कहते हैं? सरलीकरण फार्मूला, परिभाषा एवं उदाहरण | Simplification in Hindi

Posted on by

 

           Simplification in Hindi | सरलीकरण फार्मूला, परिभाषा एवं उदाहरण

सरलीकरण  गणित का एक ऐसा विषय है जिससे संबंधित प्रश्न  लगभग सभी प्रतियों प्रतियोगी परीक्षाओं  में  पूछे जाते हैं | जो उम्मीदवार विभिन्न प्रतियोगी परीक्षाओं की तैयारी कर रहे हैं, उन्हें सरलीकरण के प्रश्नों को हल करने की विधि आनी  ही चाहिए | इस पेज पर  हम आपको  सरलीकरण  से  संबंधित   समस्त जानकारी  और  सरलीकरण के प्रश्नों को हल करने की आसान ट्रिक्स बताने  वाले हैं तो आर्टिकल (Simplification in Hindi) को पूरा पढ़िए।

सरलीकरण  (Sarlikaran) परिभाषा | Simplification in Hindi

संख्याओं के संयोजन को जिसको लिखने क लिए +, x, –  , ÷ आदि का उपयोग किया गया हो तो उसे हम गणितीय व्यंजक कहते हैं  | जैसे: (i) 15 +8÷ 4-6   (ii) 16-43+8÷ 2  गणितीय व्यंजक के उदाहरण हैं। किसी  भी गणितीय व्यंजक के विभिन्न भागों को अलग करने के लिए कोष्ठकों का उपयोग किया जाता है।

गणितीय व्यंजक  के बिभिन्न भागों को अलग लिखने के लिए  हम  निम्नलिखित चार कोष्ठकों का उपयोग करते है:-

(i)  रेखा कोष्ठक( बार या विनकुलम )    ” —” 

(ii) गोल ब्रैकेट या छोटे ब्रैकेट (Round brackets or small brackets)    “(     ) “

(iii) मध्यम कोष्ठक  (Curly brackets or braces)    ” {   }  “

(iv) वर्गाकार कोष्ठक या बड़े कोष्ठक (Square brackets or Big brackets)         “ [      ] “

 किसी भी गणितीय  व्यंजक में  दिए हुए कोष्ठकों  में हमे सबसे पहले रेखा कोष्ठक , उसके बाद   छोटे ब्रैकेट , और फिर   मध्यम कोष्ठक  और सबसे अंत में हम  बड़े कोष्ठक  के अन्दर लिखे गए व्यंजक को हल करते हैं| 

किसी भी  गणितीय  व्यंजक को हल करते समय हमें  ” BODMAS” शब्द का ध्यान  रखना चाहिए | जहाँ पर  B, O, D, M, A , S का मतलब है :  

  1. B (Brackets)- कोष्ठक   
  2. O (of)- का/ घातांक/वर्ग/ करणी     
  3. D (division)- भाग  
  4. M(Multiplication)-  गुणा           
  5. A (Addition )-जोड़     
  6. S(Subtraction)- घटाव

सरलीकरण के सवालों को हल करते समय हमें निम्नलिखित बातों का ध्यान रखना चाहिए :

(i) कोष्ठक से पहले कोई चिह्न न होने की स्थिति में, हम चिह्न को गुणन के रूप में लेते हैं। 

(ii) सरलीकरण के सवालों को हल करते समय  हमें हमेशा  ऊपर  दिए हुए क्रम को अनुसरण करना चाहिए|

(iii) कोष्ठक के बाहर यदि  ‘घटाव’  का चिन्ह  हो तो  कोष्ठक के अन्दर के सारे  चिन्ह  मतलब जोड़ को घटाव और घटाव को जोड़ से बदल देते हैं|

सरलीकरण के प्रश्नों को हल करने की ट्रिक्स : 

नीचे कुछ टिप्स और ट्रिक्स दिए गए हैं जिनके द्वारा आप सरलीकरण के सवालों को आसानी से हल कर सकते हैं।

  • सबसे पहले आपको  बेसिक कॉन्सेप्ट (basics concept)  क्लियर करना चाहिए |
  • BODMAS  नियम को जानें और उसका निरंतर अभ्यास करें| 
  • कम से कम 30 तक के पहाड़ों को याद करें और विभाज्यता के विभिन्न नियमों को  भी सीखें क्योंकि इससे आपको अपनी स्पीड  बढ़ाने में मदद मिलेगी।
  • 30 तक की संख्याओं के घन और वर्ग याद करें।
  • आपको ज्यादा से ज्यादा  सवालों को हल करना चाहिए  जिससे आपकी सवालों को हल करने कि स्पीड  अच्छी रहेगी |
  • भिन्नों को प्रतिशत में और प्रतिशत को भिन्न में बदलना सीखें |
  •  निचे दिए हुए   कुछ बेसिक बीजगणितीय सर्वसमिका (algebraic identities )  को याद और उसको उपयोग करने का तरीका सीखें ।

कुछ बेसिक बीजगणितीय सर्वसमिका (algebraic identities ) : 

द्विपद का वर्ग

  • (a+b)^{2} = a^{2}+b^{2}+2ab
  • (a-b)^{2} = a^{2}+b^{2}-2ab

वर्गान्तर सूत्र

  • a^{2}-b^{2} =(a-b)(a+b)

घनों का योग व अंतर

  • a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}+b^{2}-ab)
  • a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+b^{2}+ab)

द्विपद का घन

  • (a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)
  • (a-b)^{3}=a^{3}-b^{3}-3ab(a-b)

बहुपद का वर्ग

  • (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca

अन्य बीजगणितीय  सर्वसमिका

  • (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab
  • (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})
  • a³ + b³ + c³ – 3abc = (a+b+c) (a² + b² + c² – ab -bc – ca)
  • (x + a )(x + b ) = x² + (a + b )x + ab
Simplification questions in Hindi 

” BODMAS”  पर आधारित सरलीकरण प्रश्न

 1)  5 + 3 x 2  को सरल कीजिए |
हल:  5 + 3 x 2 = 5 + 6        (BODMAS नियम के अनुसार पहले  गुणा करने पर )
  = 11   (जोड़ने पर )

 2)  12 ÷ 2 x 3 को सरल करके  उसका मान निकालें |
हल:  12 ÷ 2 x 3 = 6 x 3   ( BODMAS नियम का उपयोग करने पर पहले हम भाग करेंगें और  उसके बाद  गुणा करेंगें)
इसलिए  12 ÷ 2 x 3 =6 x 3 = 18

3)  4 + 5 x 3 – 2 को सरल करें |
हल:  BODMAS  नियम से , पहले हम गुणा करेंगे , फिर  जोड़ेगें और उसके बाद घटाव करेंगें|
4 + 5 x 3 – 2 = 4+15 -2       (गुणा करने पर )
=  19 -2            (जोड़ने पर)
= 17               (घटाने पर)
इसलिए  4 + 5 x 3 – 2 = 17.

4)सरल करें: 9 – 3 x 2 + 8 ÷ 2
हल: 9 – 3 x 2 + 8 ÷ 2  = 9 – 3 x 2 + 4
= 9 – 6 + 4
=13-6
= 7

5)सरल करें: 16 ÷ (4 – 2) + 5
हल: सबसे पहले हम कोष्ठक  के अन्दर लिखे गए व्यंजक को हल करते हैं|
16 ÷ (4 – 2) + 5 = 16 ÷ 2 + 5
=8+5       (भाग करने पर)
= 13         (जोड़ने पर)
इसलिए 16 ÷ (4 – 2) + 5 = 13

6) सरल करें: 6 + 2 x 3 – 4 ÷ 2
हल: 6 + 2 x 3 – 4 ÷ 2 = 6 + 2 x 3 – 2
=6 + 6 – 2
=12-2
=0

7) सरल करें : 7 x 6 ÷ 3 – 5 + 4 x 2
हल: 7 x 6 ÷ 3 – 5 + 4 x 2 = 7 x 2 – 5 + 4 x 2
=14 – 5 + 8
=22-5
=17

8) सरल करें: (5 + 3 x 2) ÷ (9 – 5)
हल: (5 + 3 x 2) ÷ (9 – 5) =(5 + 6) ÷ 4
=11 ÷ 4
= 2.75

9) सरल करें: 2-[3-\left \{ 6-(5-\overline{4-3}) \right \}]
हल:  2-[3-\left \{ 6-(5-\overline{4-3}) \right \}]= 2-[3-\left \{ 6-(5-1 \right )\}]  (रेखा कोष्ठक को हल करने पर )
= 2-[3-\left \{ 6-4 \right\}]        (छोटे  कोष्ठक को हल करने पर )
= 2-[3-2]                    (मझले  कोष्ठक को हल करने पर )
= 2-1
=1

10) 108\div 36 \, \, of\, \, \frac{1}{3}+\frac{2}{5}\times 3\frac{3}{4}=?

हल:  108\div 36 \, \, of\, \, \frac{1}{3}+\frac{2}{5}\times 3\frac{3}{4}= 108\div 12+\frac{2}{5}\times \frac{15}{4}           (क्योंकि  36 \, \, of \, \, \frac{1}{3}= 36\times \frac{1}{3}=12 )

= 9+\frac{3}{2}

=\frac{21}{2}=10\frac{1}{2}

बीजगणितीय सर्वसमिका (algebraic identities )पर आधारित सरलीकरण प्रश्न

1)  \frac{\left ( 736+278 \right )^{2}+(736-278)^{2}}{736 \times 736+278 \times 278}का मान क्या होगा |

हल: दिए गए व्यंजक को हम \frac{\left ( a+b \right )^{2}+(a-b)^{2}}{a \times a+b\times b}   लिख सकते हैं , जहाँ पर a=736  और b=278

अब  (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2}) का मान रखने पर  \frac{\left ( a+b \right )^{2}+(a-b)^{2}}{a \times a+b\times b} = \frac{ 2(a^{2}+b^{2})}{ a^{2}+b^{2}}

= 2

इसलिए  \frac{\left ( 736+278 \right )^{2}+(736-278)^{2}}{736 \times 736+278 \times 278} = 2

2) यदि  x+\frac{1}{x}=13  तो  x^{2}+\frac{1}{x^{2}}  का मान निकाले  |

हल: दिया गया है : x+\frac{1}{x}=13 

दिए गए समीकरण का वर्ग करने पर x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2=169

इसलिए  x^{2}+\frac{1}{x^{2}}= 169-2= 167

3) यदि x-y=4 और xy=21 तो x^{3}- y^{3} का मान बताओ|
हल: x^{3}- y^{3} का मान निकालने के लिए हम  समीकरण x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+y^{2}+xy) का उपयोग करेंगे|
सबसे पहले हम x^{2}+y^{2} का मान निकालेंगे|  दिया गया है: x-y=4
वर्ग करने पर  x^{2}+y^{2}-2xy=16
\Rightarrow x^{2}+y^{2}=16 +2xy
= 16+ 2 x 21
= 16+42
= 58
इसलिए  x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+y^{2}+xy) = 4 x (58 +21)
= 4 x 79
= 316

5) यदि  a+b+c=9 और  ab+bc+ca = 18 तब  a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc का मान क्या होगा?
हल: a³ + b³ + c³ – 3abc = (a+b+c) (a² + b² + c² – ab -bc – ca)

जैसा कि हम जानते हैं (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca

\Rightarrow 9^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)
\Rightarrow 81=a^{2}+b^{2}+c^{2}+36
\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=81-36=45
\therefore a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc =9 \times (45-18)
= 9 x 27
= 243

6) \left \{ (0.98)^{3}+(0.02)^{3}+3\times 0.98 \times 0.02 -1\right \} का मान क्या होगा ?
हल: माना a= 0.98 और b= 0.02
दिए गए व्यंजक को हम लिख सकते हैं
\left \{ (0.98)^{3}+(0.02)^{3}+3\times 0.98 \times 0.02 -1\right \}= \left \{ a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)-1 \right \}
= \left \{ (a+b)^{3}-1 \right \}
= \left \{ (0.98+0.02)^{3}-1 \right \}
= \left \{ 1^{3}-1 \right \}
=0

7) \frac{(a-b)^{3}+(b-c)^{3}+(c-a)^{3}}{6(a-b)(b-c)(c-a)} =?
हल: a-b=x,\, \, b-c=y,\, c-a=z रखने पर   x+y+z=0
\Rightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}=3xyz

\frac{(a-b)^{3}+(b-c)^{3}+(c-a)^{3}}{6(a-b)(b-c)(c-a)}  =\frac{ x^{3}+y^{3}+z^{3}}{6xyz}

=\frac{ 3xyz}{6xyz}

=\frac{ 1}{2}

8) यदि  \left ( x+y \right )^{2}-z^{2}=4, \left ( y+z \right )^{2}-x^{2} , \left ( z+x \right )^{2}-y^{2}=36    तब  \left ( x+y+z \right )  का मान क्या होगा?
हल: दिया है : \left ( x+y \right )^{2}-z^{2}=4 \Rightarrow (x+y+z)(x+y-z) =4      (\because a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b))
\Rightarrow (x+y-z)=\frac{4}{x+y+z}
इसी प्रकार से \left ( y+z \right )^{2}-x^{2}=9 \Rightarrow (x+y+z)(y+z-x) =9
\Rightarrow (y+z-x)=\frac{9}{x+y+z}

और \left ( z+x \right )^{2}-y^{2}=36 \Rightarrow (x+y+z)(z+x-y) =36
\Rightarrow (z+x-y)=\frac{36}{x+y+z}
जोड़ने पर हमें मिलता है : \Rightarrow (x+y+z)=\frac{49}{x+y+z}
\Rightarrow (x+y+z)^{2}=49
(x+y+z)=\pm 7

प्रतिशत पर आधारित सरलीकरण प्रश्न

1) 500 का 30% क्या होगा?
हल:  500 का  30%= 500\times \frac{30}{100}= 30\times 5 =150

2)दिए गए प्रश्न में प्रश्नचिन्ह ( ? ) के स्थान पर क्या आएगा ?
30% of 200 ÷ ?% of 150 = 6
हल:  माना प्रश्नचिन्ह ( ? ) के स्थानपर x है| तब  30% of 200 ÷ x % of 150 = 6
\frac{30}{100}\times 200 \div \frac{x}{100}\times 150=6

60 \div \frac{15x}{10}=6

\Rightarrow 60 \times \frac{10}{15x}=6

\Rightarrow 600 =90x
\Rightarrow x= \frac{600}{90}= \frac{20}{3}

3) 15 का 150% +75 का 75%=? 
हल: 15 का 150% +75 का 75% = 15\times \frac{150}{100}+ 75 \times \frac{75}{100}

=\frac{45}{2}+\frac{225}{4}=\frac{90+225}{4}

= \frac{315}{4}

=78.75

4) यदि किसी संख्या का 37\frac{1}{2}%   का मान 900 है, तो उस संख्या का 62\frac{1}{2}% का मान क्या होगा?
हल: माना संख्या x है| दिया गया है : x का 37\frac{1}{2}% =900
\frac{75}{2\times 100}\times x=900

\Rightarrow x=\frac{900\times 200}{75} =2400
अब x का 62\frac{1}{2}%  =\frac{125}{2}\times \frac{1}{100}\times 2400

=1500

5) यदि किसी कंपनी का राजस्व $100,000 से बढ़कर $120,000 हो गया, तो प्रतिशत वृद्धि क्या थी?
हल: राजस्व में वृद्धि $20,000 है। प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम वृद्धि को मूल राजस्व से विभाजित करते हैं और 100 से गुणा करते हैं|

%वृद्धि= \frac{200000}{1000000}\times 100

=20%
इस प्रकार राजस्व में 20% की वृद्धि हुई।

6) …………. % of 360 +15% of 820= 231. लुप्त संख्या ढूँढ़ें।
हल:माना लुप्त संख्या x है | तब  x% of 360 +15% of 820= 231
\Rightarrow \frac{x}{100}\times 360 + \frac{15}{100}\times 820 = 231
\Rightarrow 3.6x + 123 =231
\Rightarrow 3.6 x= 231-123 =108
\Rightarrow x= \frac{108}{3.6}= 30

अतः लुप्त संख्या 30 है|

7) 1000 का 50% का 50% ………..?
हल: 50% of 50% of 1000 = \frac{50}{100}\times \frac{50}{100}\times 1000
=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times 1000

=250

8)एक परीक्षा में, 42% छात्र हिंदी में और 52% अंग्रेजी में अनुत्तीर्ण हुए। यदि 17% दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण हुए, तो दोनों विषयों में उत्तीर्ण होने वालों का प्रतिशत क्या है?
हल: माना कक्षा में 100 छात्र है| 
हिंदी में  अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या= 42
अंग्रेजी में  अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या= 52
दोनों विषयों में  अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या= 17
केवल हिंदी में  अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या= 42-17=25
केवल अंग्रेजी में  अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या= 52-17=35
दोनों में उत्तीर्ण  होने वाले छात्रों की संख्या: = 100-(25+35+17)=100-77 =23
दोनों विषयों में उत्तीर्ण होने वालों का प्रतिशत = 23%

9) 25% का 25% क्या होगा?
हल: 25% का 25% = \frac{25}{100}\times \frac{25}{100}

= \frac{625}{1000}= 0.0625

10) 34 का 250% का 50% का 80% ………..?
हल :  34 का 250% का 50% का 80% = 34 \times \frac{250}{100}\times \frac{50}{100}\times \frac{80}{100}

= 34

दशमलव पर आधारित सरलीकरण प्रश्न

1)\frac{0.07 \times0.07 \times 0.07-0.05\times 0.05\times 0.05}{0.07 \times0.07 +0.07 \times0.05+ 0.05\times 0.05} = ?

हल: \frac{0.07 \times0.07 \times 0.07-0.05\times 0.05\times 0.05}{0.07 \times0.07 +0.07 \times0.05+ 0.05\times 0.05}= \frac{(0.07)^{3}-(0.05)^{3}}{(0.07)^{2} +0.07 \times 0.05 \times(0.05)^{2}}

=\frac{(a)^{3}-(b)^{3}}{(a)^{2} +a b \times(b)^{2}}

=\frac{(a-b)(a^{2}+b^{2}+ab)}{(a)^{2} +a b \times(b)^{2}}   (\because a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+b^{2}+ab))
= a-b
=0.07-0.05
=0.02

2) \frac{0.25\times 0.25-0.24\times 0.24}{0.49}= ?

हल: \frac{0.25\times 0.25-0.24\times 0.24}{0.49}  = \frac{(0.25+0.24)(0.25-0.24)}{0.49}     (\because a^{2}-b^{2} =(a-b)(a+b) )

=\frac{0.49\times 0.01}{0.49}

=0.01

3)\sqrt{\frac{(0.1)^{2}+(0.01)^{2}+(0.009)^{2}}{(0.01)^{2}+(0.001)^{2}+(0.0009)^{2}}} का मान निकाले  |

हल: \sqrt{\frac{(0.1)^{2}+(0.01)^{2}+(0.009)^{2}}{(0.01)^{2}+(0.001)^{2}+(0.0009)^{2}}} = \sqrt{\frac{(a)^{2}+(b)^{2}+(c)^{2}}{(\frac{a}{10})^{2}+(\frac{b}{10})^{2}+(\frac{c}{10})^{2}}}, \, \, where\, \, a= 0.1 \, ,b=0.01 , c= 0.009

=\sqrt{\frac{(a)^{2}+(b)^{2}+(c)^{2}}{(a)^{2}+(b)^{2}+(c)^{2}}\times 100}

=\sqrt{ 100}

=10

4) दिए गए प्रश्न में प्रश्नचिन्ह ( ? ) के स्थान पर क्या आएगा ?    (225)^{2.5}\div (225)^{?}= 225
हल: माना प्रश्नचिन्ह ( ? ) के स्थानपर x है|दिया है : (225)^{2.5}\div (225)^{?}= 225
\Rightarrow \frac{(225)^{2.5}}{(225)^{x}} = 225

\Rightarrow (225)^{x}=\frac{(225)^{2.5}}{225}

\Rightarrow (225)^{x}=(225)^{2.5-1}

\Rightarrow (225)^{x}=(225)^{1.5}

\Rightarrow x= 1.5

5) दिए गए प्रश्न में प्रश्नचिन्ह ( ? ) के स्थान पर क्या आएगा ?
3^{3.5}\times 21^{2}\times 42^{2.5}\div 2^{2.5}\times 7^{3.5}=(21)^{?}
हल: माना प्रश्नचिन्ह ( ? ) के स्थान पर x है|दिया है:
3^{3.5}\times 21^{2}\times 42^{2.5}\div 2^{2.5}\times 7^{3.5}=(21)^{x}
\Rightarrow 3^{3.5}\times (3\times 7)^{2}\times (2\times 3\times 7)^{2.5}\times \frac{1}{2^{2.5}}\times 7^{3.5}=(21)^{x}
\Rightarrow 3^{3.5}\times 3^{2}\times 7^{2}\times 2^{2.5}\times 3^{2.5}\times 7^{2.5}\times \frac{1}{2^{2.5}}\times 7^{3.5}=(21)^{x}
\Rightarrow 3^{(3.5+2+2.5)}\times 7^{(2+2.5+3.5)}=(21)^{x}
\Rightarrow 3^{8}\times 7^{8}=(21)^{x}
\Rightarrow (3\times 7)^{8}=(21)^{x}
\Rightarrow (21)^{8}=(21)^{x}
\therefore x=8

6) 8^{0.28}\times 4^{0.08} = ?
हल: 8^{0.28}\times 4^{0.08} = (2^{3})^{0.28}\times (2^{2})^{0.08}
= (2)^{3\times 0.28}\times (2)^{2\times 0.08}
= 2^{(0.84+0.16)}
= 2^{1}
=2

7) यदि 2.374 \times 10^{p} = 0.002374, तो p का मान क्या होगा?
हल: 0.002374 =0.002374= 0.002374 \times \frac{10^{3}}{10^{3}}

= 2.374 \times \frac{1}{10^{3}}

= 2.374 \times 10^{-3}

अतः p = -3

8) यदि \sqrt{1369} =37 तो  \sqrt{13.69}+ \sqrt{0.1369}+ \sqrt{0.001369}+ \sqrt{0.00001369} का मान क्या होगा?
हल: \sqrt{13.69}+ \sqrt{0.1369}+ \sqrt{0.001369}+ \sqrt{0.00001369}

=\sqrt{\frac{1369}{100}}+ \sqrt{\frac{1369}{10000}}+ \sqrt{\frac{1369}{1000000}}+ \sqrt{\frac{1369}{100000000}}

= \frac{\sqrt{1369}}{\sqrt{100}}+\frac{\sqrt{1369}}{\sqrt{10000}}+\frac{\sqrt{1369}}{\sqrt{1000000}}+\frac{\sqrt{1369}}{\sqrt{100000000}}

=\frac{37}{10}+\frac{37}{100}+\frac{37}{1000}+\frac{37}{10000}

= 3.7+0.37+0.037+0.0037

=4.1107

भिन्न पर आधारित सरलीकरण प्रश्न

1) हल करें:    simplification in hindi

हल:

=

=

=\large \frac{172-123+14}{42}=\frac{63}{42}=\frac{3}{2}

2)    \large \mathbf{999\frac{1}{7}+999\frac{2}{7}+999\frac{3}{7}+999\frac{4}{7}+999\frac{5}{7}+999\frac{6}{7}=?}

हल: 999\frac{1}{7}+999\frac{2}{7}+999\frac{3}{7}+999\frac{4}{7}+999\frac{5}{7}+999\frac{6}{7} =999+999+999+999+999+999+\left ( \frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{3}{7}+\frac{4}{7}+\frac{5}{7}+\frac{6}{7}\right )

=(6\times 999)+ \frac{\left ( 1+2+3+4+5+6 \right )}{7}=5994+\frac{21}{7}=5994+3 

=5997 

3) यदि \frac{x}{y}=\frac{1}{3}  तब \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}} का मान क्या होगा?

हल:  \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}=\frac{(\frac{x}{y})^{2}+1}{(\frac{x}{y})^{2}-1}

= \frac{\frac{1}{9}+1}{\frac{1}{9}-1}

= \frac{\frac{10}{9}}{-\frac{8}{9}}

= -\frac{5}{4}

4) \frac{\frac{7}{2}\div \frac{5}{2}\times \frac{3}{2}}{\frac{7}{2}\div \frac{5}{2}\, of \, \frac{3}{2}}\div 5.25=?

हल: \frac{\frac{7}{2}\div \frac{5}{2}\times \frac{3}{2}}{\frac{7}{2}\div \frac{5}{2}\, of \, \frac{3}{2}}\div 5.25= \frac{\frac{7}{2}\times \frac{2}{5}\times \frac{3}{2}}{\frac{7}{2}\div \frac{15}{4}}\div \frac{525}{100}

=\frac{\frac{21}{10}}{\frac{7}{2}\times \frac{4}{15}}\div \frac{525}{100}

=\frac{\frac{21}{10}}{ \frac{14}{15}}\div \frac{21}{4}

= \frac{21}{10}\times \frac{15}{14}\times \frac{4}{21}

= \frac{3}{7}

5)यदि  2=x+\frac{1}{1+\frac{1}{3+\frac{1}{4}}} तब x का मान क्या होगा ?
हल: दिया है :  2=x+\frac{1}{1+\frac{1}{3+\frac{1}{4}}} 

\Rightarrow 2=x+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{13}{4}}}

\Rightarrow 2=x+\frac{1}{1+\frac{4}{13}}

\Rightarrow 2=x+\frac{13}{17}

\Rightarrow x=2-\frac{13}{17}=\frac{21}{17}

\Rightarrow x=1\frac{4}{17}

6) \frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{5}}}}  =?

हल: \frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{5}}}}=\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{\frac{21}{5}}}}

= \frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{5}{21}}}

= \frac{1}{2+\frac{21}{68}}

=\frac{1}{\frac{136+21}{68}}

=\frac{68}{157}

7) \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+..........+\frac{1}{100\times 101} =? 

हल: \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+..........+\frac{1}{100\times 101}

= (1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+.......+(\frac{1}{100}-\frac{1}{101})

=(1-\frac{1}{101})

=\frac{100}{101}

8)  \frac{\frac{1}{5}\div \frac{1}{5}of\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}of \frac{1}{5}\div \frac{1}{5}} =?

हल:  \frac{\frac{1}{5}\div \frac{1}{5}of\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}of \frac{1}{5}\div \frac{1}{5}} =\frac{\frac{1}{5}\div \frac{1}{25}}{\frac{1}{25}\div \frac{1}{5}}

= \frac{\frac{1}{5}\times 25}{25\times \frac{1}{5}}

=\frac{5}{\frac{1}{5}}

= 5 x 5 = 25

इसे भी पढ़े: